VOLÚMENES GEOMÉTRICOS

Ya casi termina el Año  :-)

Este es nuestro cuarto y último tema del lapso y con él cerramos las actividades de matemáticas hasta el año que viene. Quiero aprovechar para dar un merecido reconocimiento al esfuerzo que los estudiantes están realizando al estudiar las clases, realizar las asignaciones, copiar sus clases al cuaderno, aprender a entregar sus tareas de una forma avanzada y ordenada, todo esto en tiempo récord y a la vez que están atendiendo a las demás materias. Deben darse cuenta que han alcanzado un ritmo de estudio mucho mejor al que tenían cuando iniciamos, aumentando sus capacidades  de trabajo y logrando poco a poco disminuir la presión y el estrés por el volumen de tareas. ¡Estoy orgulloso de todos ustedes!  :-)

NOTA: En esta ocasión será necesario que TODAS las tareas sean entregadas en PDF, porque el tiempo de revisión disponible para mí será muy corto, y ahorraré mucho tiempo al corregir documentos PDF. Si aun no sabes cómo hacerlo, al final de la entrada tienes varias recomendaciones para crear un documento PDF.

PRESENTACIÓN DEL TEMA

Antes de entrar en materia, conviene abordar algunas explicaciones básicas que proporcionarán una idea incial.

¿Qué es el volumen?

Es el espacio que ocupa un cuerpo. Entonces se habla de figuras geométricas "sólidas".

¿Cómo se expresa el volumen?

En general, se utilizan unidades cúbicas (centímetros cúbicos, metros cúbicos, pies cúbicos, etc), pero para medir la capacidad de líquidos se creó la unidad del litro. (En esta entrada sólo abordaremos las unidades cúbicas)

¿Para qué sirve el conocimiento sobre volumen?

 En primer lugar, todo en la naturaleza está compuesto de figuras geométricas, y esto incluye a los objetos sólidos (con volumen). Para conocerlos e incluso representarlos es útil conocer las figuras geométricas. En la creación del hombre, construcciones de todo tipo, están presentes los volúmenes geométricos, y con este conocimiento se pueden calcular los tamaños, la cantidad de material que se requiere para una construcción, el lugar que ocupará, los costos de elaboración, entre otras cosas. 

TEORÍA Y EJEMPLOS

El  objetivo de este tema es el siguiente:

• Aprender a calcular el volumen de las figuras geométricas básicas.

Existe una gran cantidad de figuras geométricas, sin embargo, las figuras básicas que aprenderás en esta entrada son las siguientes:

1. El cubo
2. El paralelepípedo (o prisma rectangular)
3. El cilindro
4. La esfera
5. El cono

Algunas definiciones básicas son:

• Caras: son las superficies que conforman un volumen geométrico.
• Arista: es el lado común entre dos caras de un volumen geométrico.
• Vértice: es el punto donde coinciden 3 o más aristas.
• Radio: es la distancia desde el centro a un punto cualquiera de la circunferencia (o superficie, en el caso de la esfera).

 Para dar un vistazo general a las figuras y repasar el concepto de volumen observa este sencillo video:

Video tomado de math2me

Ahora vamos a estudiar cada una de las figuras por separado.

El Cubo

El cubo es un cuerpo formado por seis caras que son cuadradas.

Para determinar el área de un cubo, se necesita conocer la longitud de su lado. Todos los lados tienen igual medida.

Se sabe que un cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, como se aprecia en la figura de la derecha.

Para calcular el volumen de un cubo se emplea una fórmula, que es la siguiente:

Entonces, se debe tener la información de la longitud del lado del cubo, y con esto es suficiente para calcular su volumen. Aparte de esto, toda medida de longitud se expresa con una unidad de medición, y las más básicas son los centímetros (cm), metros (m), milímetros (mm), y en otras ocasiones las pulgadas (pulg) y el pie (pie).

Ejemplo.

Dado un cubo cuyos lados miden 3 centímetros, determinar su volumen.

Dato:

lado: 3 cm

 

El volumen ocupado por este cubo fue de 27 centímetros "cúbicos". Es muy importante destacar eso de las unidades. Las unidades son cúbicas, y la razón es que resultan de una multiplicación de tres veces una unidad de longitud.

Otro ejemplo

Un cubo mide 6 m por lado, determine el volumen ocupado por esta figura.

Datos:

 

lado: 6 m

El cubo de este ejemplo, ocupa un volumen de 216 metros cúbicos.

Aquí tienen el conocido Cubo de Rubik.

El paralelepípedo

Esta es una figura cuyas caras son paralelogramos paralelos e iguales dos a dos. Tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (Al igual que un cubo).

A diferencia de un cubo, un paralelepípedo puede tener sus lados diferentes, por lo que se hace necesario darle nombre a cada lado para poderlos identificar. En la figura de la derecha se aprecia el nombre que recibe cada lado.

La fórmula para determinar el volumen de esta figura es la siguiente:

Ejemplo:

Un paralelepípedo tiene 7 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto. Determine el volumen de esta figura.

Datos:

largo: 7 cm

ancho: 4 cm

altura: 5 cm

Hay que fijarse que se realizó una multiplicación de las tres longitudes y esto incluye a las unidades, por lo que al final se obtiene una unidad cúbica.

Otro ejemplo:

Un contenedor especial usado en refrigeración de alimentos, tiene las siguientes medidas: 4 metros de largo, 1,5 metros de ancho y 2 metros de alto. determine el volumen de este contenedor.

Datos: 

largo: 4 m

ancho: 1,5 m

altura:  2 m

Como se puede observar, el contenedor de refrigeración ocupa un volumen de 12 metros cúbicos.

Contenedor comercial

Cilindro

Esta es una figura compuesta por dos caras circulares que son opuestas y paralelas, y entre ellas se forma una cara que es la que le da el nombre a la figura.

Para estudiar el cilindro, primero vamos a establecer lo siguiente:

• Se considera que una de las caras circulares será la "base". Esta superficie se forma mediante la fórmula ya estudiada del área de un círculo.
• Se considera la longitud de la cara cilíndrica como la "altura".

Dimensiones básicas del cilindro, radio y altura

Para obtener la fórmula del volumen simplemente se multiplican la fórmula del área de un círculo por la longitud de la altura del cilindro, quedando de la siguiente manera:

En esta fórmula identificamos los siguientes componentes:

Ejemplo:

Una jarra de agua tiene forma cilíndrica. Sus dimensiones (medidas) son 8 cm de radio y 25 cm de altura. Calcular el volumen que puede contener esta jarra.

Datos:

radio: 8 cm

altura: 25 cm

El volumen que puede contener la jarra es de 5024 centímetros cúbicos.

Otro ejemplo:

Un tanque para almacenar agua tiene las siguientes dimensiones: 3 metros de radio y 10 metros de altura. Determine el volumen de agua que puede almacenar ese tanque.

.

Datos: 

radio: 3 m

altura: 10 m

El volumen de agua del tanque es de 282,6 metros cúbicos.

Bobinas de Papel

Esfera

La esfera es una figura geométrica caracterizada por tener un cuerpo que se encuentra acotado por una superficie curva y cerrada, en la cual sus puntos se hallan a la misma distancia de un punto interno llamado centro.

La longitud fundamental en la esfera es el radio, como se puede observar en la figura de la derecha.

La fórmula para calcular el volumen del a esfera es la siguiente:

Los elementos presentes se reconocen fácilmente: pi, el radio y una fracción (4/3)

Ejemplo:

Una pelota de softbol tiene un radio aproximado de 7 centímetros. determinar el volumen de esta pelota.

Dato:

radio: 7 cm

La pelota tiene un volumen de 1436,03 centímetros cúbicos.

Otro ejemplo:

Una metra tiene un radio de 5 milímetros. Determine su volumen.

Dato:

radio: 5 mm

La metra ocupa un volumen de 523,33 milímetros cúbicos.

Cono

Esta figura es un cuerpo geométrico que se encuentra limitado por el plano que realiza un corte a una superficie cónica cerrada. Podemos destacar las partes del cono: una base circular, un eje vertical, una altura y el vértice.

Los valores necesario para determinar el volumen del cono son el radio de la base y la altura.

La fórmula para determinar el volumen del cono es la siguiente:

Ejemplo:

Un cono anaranjado de tránsito de tamaño pequeño, tiene una base circular de radio igual a 10 cm y una altura de 30 cm. Determine el volumen que ocupa este cono.

Datos:

radio: 10 cm

altura: 30 cm

El cono vial ocupa aproximadamente 314 centímetros cúbicos.

Otro ejemplo:

El techo de una de las torres de un castillo antiguo tiene forma de cono. Las dimensiones de este techo son: una base circular de 7 metros de radio y una altura de 12 metros. Determine el volumen del cono formado por ese techo.

Datos: 

radio: 7 m

altura: 12 m

 

El cono formado por el techo de la torre tiene un volumen de 615,44 metros cúbicos.

Fin de la explicación.

COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%

(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)

NOTA: La copia de las ilustraciones finales de cada figura (cubo de Rubik, contenedor, bobina de papel, etc) no es obligatoria. 

ASIGNACIÓN (VALOR: 15%)

A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.

Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:

• Año académico.
• Sección.
• Nombre y Apellido del estudiante.
• Número de la asignación (#4). (o Cuaderno #4)
• Fecha de entrega.

Ejercicios:

A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación:

PARTE I. Práctica de Cálculos.

 Para cada ejercicio señalado a continuación, se debe calcular el volumen y hacer una representación geométrica aproximada de cada figura, señalando en esta las medidas de los datos suministrados, es decir, para cada ejercicio: cálculos más figura.

1.- Calcular el volumen de una pelota de ping pong, si se sabe que su radio es de 20 milímetros.

2. - ¿Cuánto volumen ocupa un silo cilíndrico (contenedor para almacenar semillas), que tiene 13 metros de altura y su base circular tiene un radio de 5 metros?

3.- En un país desconocido, unos habitantes viven en grandes tiendas de campaña con forma cónica. estas tiene una base circular de 4 metros de radio y una elevación de 11 metros. Determine el volumen que ocupa la tienda.

4.- Para almacenar unas sustancias químicas han empleado unos contenedores cilíndricos de metal. Estos tienen una altura de 60 cm y un radio de 25 cm. ¿Cuál será el volumen que puede almacenar cada contenedor?

5.- En un colegio, se tomaron las medidas de uno de sus salones de clase. Estas fueron: 8 metros de largo, 4 metros de ancho y 2,5 metros de alto. ¿Cuál será el volumen encerrado por este salón de clases? 

PARTE II. Actividad libre. 

1.- identifica de la naturaleza o de los objetos creados por el ser humano 5 objetos de cada una de las formas geométricas estudiadas en esta publicación:

• 5 objetos cúbicos.
• 5 objetos con forma de paralelepípedo.
• 5 objetos cilíndricos.
• 5 objetos esféricos.
• 5 objetos cónicos.

Solamente nombrarlos.

Nota: no es válido considerar los objetos  ya nombrados en esta publicación. 

CONDICIONES DE EVALUACIÓN

Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.

Rúbrica de Evaluación

Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el  cuaderno"

• Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
• Debe llevar los datos solicitados en la portada.
• La asignación debe ser fotografiada convertida a formato PDF y enviada al docente  únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
• Se deben transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
• Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
• Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
• Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
• JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
• Camscanner (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
• Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.

Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:

• Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
• Para la asignación es hasta el 15 de junio (Todo el día)
• Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 16 de junio (Todo el día)
• Esta vez se han estrechado los lapsos de recepción para iniciar de inmediato con la corrección, ya que las notas se entregarán a la coordinación de evaluación la semana que sigue.

• IMPORTANTE: Al enviar los 2 correos, deben señalar los datos del estudiante: 
• Nombre y Apellido
• Año y Sección
• Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
• Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del  grupo de estudiantes y por secciones separadas.
• El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación. 
• Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.

Enviar al correo electrónico:

ernestovaquero@gmail.com

Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación. 

Esto es todo por el tema de volúmenes geométricos. 

¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!

M.Sc. Ernesto Vaquero

Matemáticas UEP Kalil Gibrán.