PROBABILIDADES

Saludos. 

En esta ocasión iniciaremos con el tema de las "probabilidades", una palabra que encierra un significado realmente interesante  y aplicable a todo en la vida. Cuando nos preguntamos ¿Qué tan posible es que ocurra un suceso?, estamos refiriéndonos exactamente a la palabra "probabilidad".

PRESENTACIÓN DEL TEMA

Para comprender rápidamente qué es la probabilidad, lo más práctico es lanzar una moneda... 

¿Cuántos posibles resultados existirán?

Lógicamente responderemos que sólo hay dos posibles resultados: "cara" y "sello".

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda caiga cara?, quizás te imagines que la probabilidad cuando lanzamos una moneda es mitad y mitad, o sea, 50% . La pregunta es ¿de qué manera podemos resolver esto matemáticamente?

La respuesta es que, para calcular la probabilidad de un "evento" (que caiga cara, por ejemplo), se debe dividir la cantidad de resultados que son "favorables" a este evento entre el número total de posibilidades que existen.

De esta manera, al lanzar una moneda existen dos posibles resultados, y que caiga "cara" es una sola de estas posibilidades.

Así, el cálculo sería: (P, significa probabilidad)

P(evento) = # de resultados favorables al evento  /  # de resultados posibles

En este caso, sería:

P(cara) = 1 / 2     

Por lo tanto, se puede decir que la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda es de 1/2, también es posible decir que vale 0,5 y hay otra manera de expresarlo, sería el 50%.

Está el ejemplo de lanzar un dado, es clásico. Veamos, al lanzar un dado al aire, ¿cuántos resultados posibles existen al caer?.....

¡Son 6! ¿cierto? (1, 2, 3, 4, 5 y 6) 

Si ahora planteamos que queremos conocer la probabilidad de obtener un "2" al lanzar un dado, solo tendríamos que hacer el siguiente cálculo:

P(2) = # resultados favorables / # resultados posibles

o sea, 

P(2) = 1 / 6

Así, la probabilidad de obtener un "2" al lanzar un dado, sería de 1/6, o de 0,16, o del 16%

Bien, con esos dos ejemplo se ha formado una idea de lo que es calcular la probabilidad de un "evento", ahora toca revisar algunos conceptos teóricos  más profundos.

TEORÍA

Probabilidades

Veamos formalmente las siguentes definiciones:

• Probabilidad: es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %). (WIKIPEDIA)

• Experimento Aleatorio: Es la realización de un experimento en el cuál no se puede saber con certeza el resultado que se va a obtener, cada vez que se realiza. Sin embargo, se pueden conocer todas las respuestas posibles.

• Evento (probabilístico): un evento o suceso probabilístico, es la declaración de una posible respuesta en un experimento aleatorio, es decir, declarar una de las respuestas posibles y con esto se puede hacer el cálculo de la probabilidad de que este evento se ocurra.

• Espacio Muestral (o probabilístico): el espacio muestral es simplemente el conjunto de posibles resultados a obtener cuando se analiza la realización de un "Experimento Aleatorio", por ejemplo, al lanzar un dado, el espacio muestral sería     S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como  se puede observar, se ha identificado con la letra S, que viene de la palabra espacio en inglés (Space).

Ahora, veamos cómo se escribe la probabilidad de un evento.

Supongamos que se lanzará una moneda, y calcularemos la probabilidad de obtener en el resultado un número "par".

Con esa descripción podemos expresar lo siguiente:

• El experimento aleatorio es: Lanzar el Dado
• El evento declarado es: "Obtener un número par", y se puede señalar así: (Par)
• El espacio muestral sería: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Expresar "la probabilidad de obtener un número par" se podría escribir matemáticamente de la siguiente forma:

P(Par)               recordando que (Par) es el evento declarado.

Ahora hagamos el cálculo...

Al lanzar el dado, los posibles resultados pares serían: 2, 4 y 6, son tres en total.

El espacio muestral contiene seis resultados, así que la probabilidad de ese evento sería:

P(Par) = 3 / 6

P(Par) = 1 / 2                (después de simplificar la fracción 3/6 = 1/2)

Para poder dar las otras respuestas equivalente (con decimales y en forma de porcentaje), se realizan estos sencillos pasos:

Probabilidad en forma decimal: Se realiza la división, por ejemplo 1/2 = 0,5.

Probabilidad en forma de porcentaje: se realiza primero la división (como en el paso anterior) y luego se multiplica por 100, agregando al final el símbolo de porcentaje (%), por ejemplo:

1/2 = 0,5    

0,5* 100% = 50%

Más ejemplos...

Cuando se plantea que dentro de una caja o en una bolsa, etc... existen elementos variados, también se puede calcular la probabilidad de una forma sencilla. Veamos el siguiente enunciado:

En una bolsa hay 4 metras azules, 3 verdes y 2 rojas. Si se introduce la mano en la bolsa y se saca una metra al azar, ¿cuál será la probabilidad de que salga una metra de color  azul? 

Lo primero es identificar el conjunto de todos los resultados posibles (es decir, el "Espacio Muestral")

S = {Azul, Verde, Roja}

Luego, se debe "declarar" (establecer por escrito) el evento que se va a analizar (es decir, que resulte una metra de color Azul).

Evento: Azul, que se obtenga una metra de color azul.

Sabiendo que hay:

  4 metras Azules

  3 metras Verdes y

  2 Metras Rojas,

Ahora vamos a calcular la probabilidad de haber obtenido una de color Azul:

P(Azul) =  4 / 9

y esa es la respuesta al planteamiento. (Prueba expresar la respuesta con dos decimales y luego en porcentaje)

Si al principio hubiésemos querido calcular la probabilidad de obtener una metra de color verde, el cálculo sería de esta manera:

P(Verde) = 3 / 9

Nota: en este ejercicio en particular, se entiende que cada vez que se saca una metra, luego es regresada a la bolsa antes de volver a realizar el experimento.

Estas son algunas observaciones importantes:

• La probabilidad de un evento solo puede ser un número entre 0 y 1 y también puede escribirse como un porcentaje (entre 0% y 100%).
• La probabilidad del evento  A, suele escribirse como  P(A).
• $Si\; P(A)>P(B),el\; evento\; Atiene\; una\; mayor\; probabilidad\; de\; ocurrir\; que\; el\; evento$$B$
• Si P(A) = P(B), los eventos A y B  tienen la misma probabilidad de ocurrir.

(Fragmento tomado de Khan Acádemy)

Como complemento del tema de las probabilidades existe un conocimiento que permite ayudar a determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, y se explica a continuación.

Diagrama de Árbol

El llamado diagrama de árbol, es una sencilla y útil herramienta visual que le permite a la persona "construir" un esquema que revela todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Una explicación traída de otra fuente informativa es la siguiente:

Los diagramas de árbol muestran todos los resultados posibles de un evento. Cada rama en un diagrama de árbol representa un posible resultado. Los diagramas de árbol pueden usarse para encontrar el número de resultados posibles y calcular la probabilidad de los posibles resultados. (Sal Khan)

Para elaborar un diagrama de árbol, se debe partir de un enunciado que indique la combinación de varias posibilidades, como el siguiente:

Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuántas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?           

Para empezar, es necesario identificas cuáles y cuántas clasificaciones hay. En ese ejemplo, hay tres clasificaciones: 

• Sexo
• Tipo de sangre
• Presión sanguínea

Esto se tomará en cuenta al momento de desarrollar el diagrama.

Ahora, partiendo de los datos anteriores, colocamos como punto de partida la palabra de donde se derivarán las ramificaciones, nos referimos a la palabra "pacientes". A partir de "Paciente", se generan las primeras dos "ramas" (masculino y femenino) de acuerdo a la primera clasificación, luego, a partir de cada una de esas ramas se aplica la segunda clasificación (tipo de sangre), generando 4 ramas en masculino y 4 más en femenino. Finalmente a cada una de las nuevas ramas se aplica la tercera clasificación (Tensión arterial), generando tres ramas en cada una de las ramas anteriores. Después de hacer todo esto, se genera el  siguiente gráfico:

Observando el diagrama de árbol resultante, se puede extraer de él un listado de todas las posibles combinaciones, es decir, todas las posibles clasificaciones que puede tener un paciente de ese médico. Considerando ciertas abreviaturas para facilitar la escritura, el listado sería el siguiente:

1. M-A-Ba     (Ejemplo de Lectura: Masculino - Sangre Tipo A - Tensión Baja) 
2. M-A-Me
3. M-A-Al
4. M-B-Ba
5. M-B-Me
6. M-B-Al
7. M-AB-Ba
8. M-AB-Me
9. M-AB-Al
10. M-C-Ba
11. M-C-Me
12. M-C-Al
13. F-A-Ba  
14. F-A-Me
15. F-A-Al
16. F-B-Ba
17. F-B-Me
18. F-B-Al
19. F-AB-Ba
20. F-AB-Me
21. F-AB-Al
22. F-C-Ba
23. F-C-Me
24. F-C-Al

Donde M: Masculino; F: Femenino; A: Sangre tipo A; B: Sangre tipo B; AB: Sangre tipo AB; C: Sangre tió C; Ba: Presión sanguínea baja; Me: Presión sanguínea media y Al: Presión sanguínea alta.

Serían 24 posibilidades.

Con esto, se cierra la explicación de la construcción del diagrama de Árbol. 

EJERCICIOS DE PRÁCTICA (Deben ser resueltos en el cuaderno)

Una vez vistos los conceptos básicos de probabilidades y diagrama de árbol con algunos ejemplos, es momento para que realicen una práctica previa a la elaboración de la asignación evaluada de este tema. A continuación se colocará un conjunto de ejercicios para que sean resueltos por el estudiante, y al igual que la teoría serán copiados directamente en el cuaderno, como soporte del trabajo de estudio realizado en casa. Estos ejercicios pueden ser consultados con el docente en los horarios establecidos y serán revisados posteriormente al momento de la reincorporación presencial en el salón de clases, para ser calificados.

COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJERCICIOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%

(Estos serán posteriormente revisados para su evaluación)

Ejercicios de Probabilidades

Al desarrollar cada uno de los sigueintes planteamientos, se debe determinar el espacio muestral e identificar y declarar los eventos a los que se le va a calcular la probabilidad.

1. Se lanza un dado al aire y se pide lo siguiente: calcular la probabilidad de obtener un resultado impar.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire salga "sello"?

Ejercios de Diagrama de Árbol

1. Una señora quiere comprar en una tienda una franela y una falda para su hija (que no tiene preferencia por el color de cada prenda). Los colores a escoger son los siguientes:

• Franela: Blanco, Azul, Rojo
• Falda: Amarillo, Fucsia, Marrón.

Elabore el diagrama de árbol correspondiente a todas la combinaciones posibles para la escogencia de una prenda y elabore la lista de posibilidades.

    2. Se lanza un dado dos veces seguidas. Desarrolle el diagrama de árbol correspondiente y elabore una lista de los posibles resultados.

ASIGNACIÓN (VALOR: 20%)

A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.

Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación: 

• Año académico
• Sección
• Nombre y Apellido del estudiante
• Número de la asignación (#1)
• Fecha de entrega

Ejercicios de probabilidades:

Al desarrollar cada uno de los siguientes planteamientos, se debe determinar el espacio muestral y declarar los eventos a los que se le va a calcular la probabilidad.

1. En una caja hay 3 tarjetas rojas, 2 amarillas y 5 azules. Determine: a) la probabilidad de sacar al azar una tarjeta roja; b) la probabilidad de sacar al azar una tarjeta amarilla; c) la probabilidad de sacar al azar una tarjeta azul. Compara las diferentes respuestas y establece un criterio de orden (es decir, de menor a mayor o de mayor a menor probabilidad).
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado al aire resulte: a) un número primo?: b) un múltiplo de 3?

Ejercicios de diagrama de árbol:

1. Desarrolle usted un ejercicio original de diagrama de árbol en el que se reflejen dos clasicaciones, la primera con 4 elementos y la segunda con 3 elementos. Debe crear el enunciado, elaborar el diagrama y el listado de posibilidades resultantes.(Puede emplear abreviaturas)
2. Desarrolle usted un ejercicio original de diagrama de árbol  en el que se muestren 3 clasificaciones, una de 3 elementos, una de 4 elementos y una de 2 elementos. Debe crear el enunciado, elaborar el diagrama y el listado de posibilidades resultantes.(Puede emplear abreviaturas)

Condiciones de elaboración y entrega de la asignación:

• Debe ser realizada a mano.
• Debe llevar los datos solicitados en la portada
• El plazo máximo de entrega es hasta el 13-14 de abril. (Todo el día).
• Los ejercicios de diagrama de árbol deben ser extrictamente originales, no pueden ser tomados de un libro o de internet.
• Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.
• La asignación debe ser fotografiada y enviada al docente  principalmente al correo electrónico, en caso de no poder hacerlo por ese medio, podrá hacerlo vía Whatsapp.
• Quienes lo deseen, pueden enviar el trabajo como un documento Word o PDF con la portada solicitada y las imágenes adentro.

Enviar al correo electrónico:

ernestovaquero@gmail.com

RECURSOS ADICIONALES

Entre las alternativas de apoyo disponibles para complementar todas las explicaciones presentes en esta entrada, se encuentran las siguientes informaciones:

• Texto de matemáticas de trabajo (Biósfera): páginas147 a la 150.
• Video ilustrativo sobre las probabilidades: Fundamentos de la Probabilidad (de Khan Academy), Nota: Volado se traduce como "lanzar una moneda al aire" y en el ejemplo en vez de mostrar "cara o sello" se habla de "águila o cruz".
• Ejemplo de seleccionar "canicas" (metras) dentro deuna bolsa: Ejemplo de las canicas (Khan Academy)
• Contar posibilidades con el diagrama del Árbol: Explicación de Diagrama de Árbol (Khan Academy)

Esto es todo por el tema de probabilidades.

Hasta la próxima entrada, 

¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!

M.Sc. Ernesto Vaquero

Matemáticas UEP Kalil Gibrán